Aujourd'hui, la théorie des nombres, longtemps considérée comme la branche la plus abstraite et la moins utile des mathématiques, connaît un vaste essor à cause notamment de ses applications fondamentales dans le domaine de la cryptographie. La recherche actuelle s'appuie sur deux axes principaux :
En ce qui concerne le premier problème, de nombreux progrès ont été accomplis depuis quelques années puisqu'il faut aujourd'hui 45 secondes à l'aide d'un ordinateur puissant pour savoir si un nombre de 100 chiffres est premier, 6 minutes pour un nombre de 200 chiffres et une semaine pour un nombre de 1000 chiffres.
Les méthodes utilisées, qui permettent de conclure quant à la question de la primalité d'un nombre, sont en revanche inefficaces en ce qui concerne la décomposition en facteurs premiers de ce même nombre. La solution du second problème, qui apporte évidemment une solution au premier problème, n'a donc pas encore été trouvée. Autrement dit, il est aujourd'hui pratiquement impossible de trouver la décomposition primaire d'un nombre non premier de 100 chiffres et plus.
Cet obstacle est à la base d'un système de cryptographie très performant (le système R.S.A. dont nous exposerons le principe plus bas) qui donne à la théorie des nombres une dimension pratique et concrète encore mésestimée il y a peu de temps.